Symulacja wielkościami pozycji podczas testów mechanicznych systemów transakcyjnych to moja ulubiona zabawa. Pokazuje bowiem coś czego umysł nie zawsze potrafi ogarnąć pomimo tego, że to najprostsza matematyka.
Mit spekulacji #7/ Zarządzanie wielkością pozycji (i kapitałem) nie pomaga zwiększyć skuteczności.
Wielokrotnie czytałem i słyszałem sceptyczne opinie aktywnych inwestorów na temat tego jak zarządzanie wielkością pozycji nie przekłada się na efektywność działania strategii tradingowej. Tymczasem symulacje rozmiarem kapitału wystawionego na ryzyko przynoszą niezwykłe rezultaty, które przekraczają czasem ludzką wyobraźnię. Nie poczuje tego ktoś kto nie pozna tego tematu na drodze empirycznej. Wielokrotnie widywałem również zdziwione miny traderów, którym pokazywałem różne warianty zarządzania wielkością pozycji dla ich metod gry.
// Akurat słowo gra jest w tym przypadku bardzo adekwatne gdyż wielkość pojedynczej stawki i sposób użycia kapitału to obok przeciągania szans na swoją stronę jedyne wspólne cechy inwestowania i hazardu.//
Całokształt działań związanych z ustaleniem optymalnej wielkości pozycji dorobił się zresztą własnej, unikatowej nazwy: optisizing (tłumacząc na polski: optymalizacja rozmiaru, wielkości). Chodzi o dopasowywanie nie tylko pojedynczej pozycji ale również wielkości zaangażowania, uwzględniającego ryzyko całego portfela instrumentów (tzw.portfolio heat).
Nieodpowiednim doborem wielkości pozycji można przede wszystkim pogrzebać każdą strategię, bez względu na jej przewagę na rynku. Dotyczy to szczególnie lewarowanych instrumentów: par walutowych (forex) i kontraktów terminowych. Jednocześnie można uzyskać przewagę w tej strategii, która pozornie wydaje się niezyskowna [przy tym nie mam na myśli tych metod zarządzania, polegających na progresywnym zwiększaniu stawki po przegranej jak martyngał i jego odwrotność czyli strategia antymartyngałowa]. Chodzi bowiem o zasadniczą zależność, nagminnie ignorowaną w symulacjach: test, którego wynik wykazuje zysk/stratę jest właściwy tylko i wyłącznie dla jednej, użytej w nim wielkości pozycji i podlega on wahaniom w obie strony przy zmianie parametrów zaangażowania. Zupełnie naturalnym jest wobec tego zjawisko powstania diametralnie różniących się znakiem rezultatów tej samej strategii przy zmianie wielkości stawek.
Najczęściej symulacje wykonuje się na 1 jednostce danego instrumentu a zdziwienie przychodzi gdy pozycja staje się wielokrotnością 1. Przy bardzo wrażliwych instrumentach jak forex wystarczy zmiana parametru wielkości pozycji o małe procenty by pozornie niewielkie obsunięcie nabrało rozmiarów gigantycznej wyrwy w kapitale. I nie dotyczy to jedynie dynamicznych metod doboru pozycji, jak te zależne od zmienności, gdyż nawet taktyki oparte na stałej wielkości użytego kapitału mogą okazać się zawodne. I tak na przykład podczas obsunięcia (drawdown) może się okazać, że brakuje nam na depozyt i zamiast np. dotychczasowych 10 kontraktów wystarcza tylko na 8. A to rodzi dalszą lawinę negatywnych następstw.
Oto bowiem jeśli obsunięcie dokonywało się na maksymalnym zaangażowaniu, a teraz by odrobić straty jesteśmy zmuszeni spekulować o 2 jednostki mniejszym kapitałem, to oznacza, że zyski narastać będą wolniej. Ten problem nabiera szczególnej istotności w strategiach o zmiennym rozmiarze pozycji, proporcjonalnym do wysokości aktualnego kapitału, gdyż w miarę jego kurczenia skazujemy się na coraz mniejsze pozycje. Poradzenie sobie z tym problemem może spowodować, że strategia stratna w jednym teście wielkości stawki, w innym nabierze zyskowności.
Warto również wspomnieć o istotności miejsca powstania obsunięcia kapitału. Jeśli zdarzy się już na początku gry, w dalszym ciągu może nie dojść do wyrównania obsunięcia a więc strategia wygląda na pozornie stratną. Tymczasem zmiana taktyki zarządzania kapitałem czy testy na jak najszerszej wielkości próbie danych diametralnie pozwolą zmienić optykę.
Pułapką jest tutaj również sam poziom kursu instrumentu- na niektórych platformach forexowych wielkość pozycji zmienia się na skutek wyliczania dostępnej ilości jednostek w zależności od aktualnej relacji walut. Przy wzroście kursu waluty bazowej okazuje się, że potrzebny depozyt rośnie co zmienia nasze wyliczenia wielkości pozycji.
Wrażliwość wielkości pozycji zmienia się również wraz z rozmiarem dostępnego kapitału – im jest on większy tym pozycje bardziej elastyczne ponieważ przy dzieleniu zostają relatywnie mniejsze reszty. Gdy przy małych kapitałach wychodzi nam zaangażowanie o wielkości 1,5 kontraktu musimy zadecydować o otwarciu pozycji w wysokości 1 lub 2 kontrakty, co istotnie zaburza wyniki. Dla kapitału 10 razy większego od razu wyskakuje nam liczba 15 kontraktów i brak problemów.
Trzeba też zwrócić uwagę na psychologiczne i matematyczne pułapki. Jedna z nich, dość wiekowa , pokazuje, że jeśli cena posiadanego aktywu spada nam o 50% to należy teraz zarobić 100% by wyjść na zero. Tymczasem obie wielkości dotyczą innych kursów bazowych. Spadek o 100 tików oznacza, że przy tej samej wielkości pozycji musimy również odrobić dokładnie 100 tików a nie 200. Wszystko się zmienia jeśli, tak jak wyżej, spadaliśmy na 10 kontraktach i sięgnął nas stop loss a teraz odrabiać musimy na 8 sztukach.
A mówi się, że wielkość nie ma znaczenia, tylko technika…
—***Kat***—
78 Komentarzy
Dodaj komentarz
Niezależnie, DM BOŚ S.A. zwraca uwagę, że inwestowanie w instrumenty finansowe wiąże się z ryzykiem utraty części lub całości zainwestowanych środków. Podjęcie decyzji inwestycyjnej powinno nastąpić po pełnym zrozumieniu potencjalnych ryzyk i korzyści związanych z danym instrumentem finansowym oraz rodzajem transakcji. Indywidualna stopa zwrotu klienta nie jest tożsama z wynikiem inwestycyjnym danego instrumentu finansowego i jest uzależniona od dnia nabycia i sprzedaży konkretnego instrumentu finansowego oraz od poziomu pobranych opłat i poniesionych kosztów. Opodatkowanie dochodów z inwestycji zależy od indywidualnej sytuacji każdego klienta i może ulec zmianie w przyszłości. W przypadku gdy materiał zawiera wyniki osiągnięte w przeszłości, to nie należy ich traktować jako pewnego wskaźnika na przyszłość. W przypadku gdy materiał zawiera wzmiankę lub odniesienie do symulacji wyników osiągniętych w przeszłości, to nie należy ich traktować jako pewnego wskaźnika przyszłych wyników. Więcej informacji o instrumentach finansowych i ryzyku z nimi związanym znajduje się w serwisie bossa.pl w części MIFID: Materiały informacyjne MiFID -> Ogólny opis istoty instrumentów finansowych oraz ryzyka związanego z inwestowaniem w instrumenty finansowe.
@ oz
Mogę, choć nie ma to prostej odpowiedzi.
Inwestor dysponuje kapitałem 400K przeznaczonym na zabawę w giełdu giełdu. Inwestor wyliczył sobie frakcje Kellego na 0,25 oraz ustalił wielkośc straty na 200 punktów (rozumiem ze na kontrakcie, co daje kwotę 2000 zł). Inwestor wyliczył sobie ilość kontraktów na 50, co wydaje mu sie irracjonalne i słusznie bo oznacza to, że wystawia na stratę sporą kwotę 100.000 zł, co stanowi aż 25% całości kapitału. To dużo, bardzo dużo.
Matematycznie niby poprawnie ale nieracjonalne z ekonomicznego punktu widzenia oraz bardzo ryzykowne. Inwestor zapomniał co mówi zasada rozsago tradowania- przeznaczaj nie więcej niż 2-3% kapitału na stratę, na jednym instrumencie i nie więcej niż 10% na całym portfelu.
A nasz inwestor chce iśc na całość , va banque, po wsiech i przenaczyć na stratę aż 25 % kapitału. A to ryzykant jeden mówi lesserwisser i radzi 5 kontraktów zamiast 50.
Jak sobie to wyliczył? Ano przyjął, że inwestor oz ryzykuje 2,5% kapitału czyli wystawia na stratę na zabawę w WIG20, jedynie 10.000 zł, a więc stawkę dziesięć razy mniejszą niż mu mądry wzór radzi.
Ponieważ zaś na jednym kontrakcie inwestor dopuszcza stratę 2.000 zł, (ok. 7,5% wartości kontraktu) to wychodzi nam 5 kontraktów do nabycia.
Inwestor może jednak pójść na ryzykie i nabyć te 50 kontraktów, zakładając w uproszczeniu, że ma lewarek ok 1;13 (zawyżamy dla celów rachunkowych sumaryczny średni depozyt ok 7,5 % wartości WIG20, ale pod warunkiem że zawęzi stop lossem zakres ryzyka do 20 punktów czyli 200 złociszy za kontrakt.
W obu przypadkach będzie generalnie zgodny z reguła Kellego.
Inwestor powinien jednak pamiętać, że f Kellego można stosować do przypadków, w których wielkości wygranych są równe oraz wielkości strat są równe, co nie zdarza się w tradingu.
W tradu tradu lepsze jast optymalne f Vincea, która nie ma tej słabości. Ale ambitny inwestor powinien pamiętać, że optimal f nie tyle zmniejsza ryzyko bankructwa w ciagu tradingowym ile zwiększą (optymalizuje) geometryczna stopę zwrotu z tej zabawy.
Nie oznacza ono (to f) jednak, że pojedyńczy trade nie może zakończy się dużą stratą, szczególnie w przypadku dużego f, które niby zwieksza szanse na wygraną. Zwiększa w matematycznym rozumieniu przy dużej ilości powtórzeń i zmniejsza średnią szansę na bankructwo.
W związku z tym warto stosować bezpieczny limit pojedyńczej wpadki na zalecanym poziomie 2-3%, bo wtedy uzyskujemy racjonalny kompromis między wygraniem a nie przegraniem.
Myślę, że podałem to w miarę jasno no i na miarę swoich możliwości.
Aha jeszcze jedna uwaga, bo mnie oglądanie Ong Bak rozprasza.
Chciałbym zwrócić uwagę, że trading przy zastosowaniu parametru fix fraction, wywodzącego się z reguły Kellego, jest w istocie automatycznym stosowaniem zasady antymartyngałowej.
Bo jak nam wychodzi i kapitał rośnie to się automatycznie zwiększa stawka a jak nam nie wychodzi i spada kapitał to się nam zmniejszają stawki. A antymartyngał nie należy wcale do optymalnych strategii.
Dzięki wszystkim za konstruktywne uwagi 😉 Pozdrawiam
@less
Ale skrajnie optymalny jest kelly i daje szansę na miliardy przy jeszcze wiekszej szansie na „torbe i kij” także z ta bezwzgledna optymalnościa matematyczną przesadzać nie należy 🙂
pit65
Tak jest. Kelly jest optymalny w ujęciu statystycznym, a ta wygładza i niweluje skrajności przy dużej liczbie powtórzeń, na długą metę czasowo i poprzez prawo wielkich liczb. Natomiast w pojedyńczych przypadkach czy zdarzeniach może zdarzyć się wszystko, na przykład rzucona moneta może stanąć na sztorc, choć założenia teoretyczne przewidują tylko orła i reszkę.
To trzeba mieć na uwadze przy interpretacji wszelkich wzorów, by nie wpaść w ich sidła. Na przykład jeśli w danej sytuacji tradingowej testy wykażą nam wysokie optymalne f, oznacza to tylko tyle że mamy dużą pewność zarobku, ale w ujęciu statystycznym, bez żadnej gwarancji, iż w konkretnym przypadku fortuna nam wypłaci
W przypadku tradingu paradoks optymalnego f polega na tym, że im lepszym systemem dysponujemy, im większe szanse na wygraną nam daje, to jest im wyższe optymalne f wychodzi z testów, tym więcej możemy stracić na danym pojedyńczym tradzie. Bo ta dobroć naszego systemu polega właśnie na tym, że jest on się w stanie podnieść po takiej wpadce i w końcu/z czasem wyjść na zakładane swoje, a raczej nasze.:-(
To powinno dotrzeć do świadomości każdego inwestora oczekującego szybkich cudów w wyniku samego tylko, automatycznego, zastosowania mądrej formuły matematycznej.
Na zakończenie zabawna historia nieźle ilustrująca ten przypadek.
W szkole na lekcji matematyki pani omawia podstawy rachunku prawdopodobieństwa i chcąc dać dzieciakom jakieś przykłady z ich życia wzięte mówi:
trzech kolegów strzela z łuku do tarczy, oddają po 5 strzałów każdy, z wcześniejszej zabawy wiemy, że Jarek przeciętnie trafia w środek w 60%, Piotrek w 50% czyli co drugi raz, a Witek tylko w 33,33%, czyli co trzeci raz.
Obliczcie dzieci oczekiwany wynik skutecznych trafień w środek tarczy dla każdego kolegi. Dzieci liczą i liczą, aż w końcu Krzyś mądrala mówi – dla Jarka to 3 razy, dla Piotrka 2,5 a w przypadku Witka 1,67. Bardzo dobrze mówi pani.
Na to wstaje Jasiu i mówi, psze pani ja tu czegoś nie rozumiem,
3 trafienia ok, 2,5 trafienie jeszcze może być bo, tę połówkę rozumiem tak, że Piotek trafił w środek tarczy ale strzała się nie wbiła, natomiast tego 1,67 dla Witka w żaden sposób nie mogę sobie wytłumaczyć. Czyżby strzała wbiła się w nogę któregoś stojaka od tarczy?
Tak więc przy interpretacji wskaźników też mamy duże pole do popisu.
Natomiast
🙁
Lucek jak widze nadal aktywny:) Lucek ma dużą wiedzę, ogromną..tylko jeszcze nikt nie widział jak przekształca ja w praktykę za wyjatkiem ujęc historycznych:) Tu jego wiedza doskonale sie przydaje gdyz potrafi do kazdej sytuacji dopasować wykresik tak zeby ładnie wygladało..Czytam sobie teraz kwit pt.”Nie rób drugiemu co tobie niemiłe” prof.Wojciszke:)Tam jest taki rozdzialik;”kłamstwo powtarzane wystarczająco czesto staje sie prawdą” , tu Lucek czerpie z najlepszych wzorów: Wałodia Lenin, herr Joseph Goebbels…Jak pisze profesor :”wystarczy ze cos usłyszymy osiem razy a juz skłonni jesteśmy w to wierzyć’ 🙂 poparte eksperymentami..’A co bedzie jeśli coś usłyszymy osiemset razy? Toż to stanie się prawda objawioną!” pisze profesor..
W stanach na grupach jest taki kolo – Jack Hershey, wszyscy juz pewnie wiedzą:) Jack utrzymuje ,że na kazdej sesji wyrabia 3X atr z tej sesji zysku dziennie:) Cóz, kazdy kraj ma takiego Jacka na jakiego sobie zasłuzył:)
Dobry dzień na spadki ;).
Chyba przekroczyliśmy liczbę komentarzy zjadliwą dla nowych czytelników, pora na jakiś nowy wpis, bo tu już zeszliśmy z tematu.
Prawda i kłamstwo rządzą się swoimi prawami a sens i nonsens swoimi i trudno przenosić jeden mechanizm na drugi. Przecież głupota powtórzona po stokroć nie staje się mądrością.
Stać się może obiegową prawdą, funkcjonującą w niedoszlifowanych umysłach, ale w dalszym ciągu będzie to g..no prawda.
Wszystko, w tym również prawdy i mity rynkowe, można podać w sposób prosty, klarowny i spójny i z sensem albo w sposób stwarzający pozory
sensu i fachowości, choć faktycznie będzie to pseudo-fachowa bzdura.
Taka „prawda” może zacząć żyć własnym życie i całkiem nieźle funkcjonować, do czasu aż ktoś jej nie obali, wykazując jej nonsensowność lub inherentny błąd.
Trzeba tylko najpierw rozumieć to i owo no i potem starać się zrozumieć więcej. Im jaśniej i prościej podane są takie prawdy objawione tym łatwiej jest wykazać ich ewentualną słabiznę.
„One sure sign of a Pseudo-expert is writing that is unclear and difficult to follow. Unclear writing comes from unclear thinking. A true expert will be able to explain complicated ideas in ways that are clear and easy to understand.” – Curtis Faith “Way of the Turtle”.
Dyskutujmy więc lepiej o optisizingu, czyli optymistycznym postrzeganiu sprawy, we właściwym jej formacie.
„“One sure sign of a Pseudo-expert is writing that is unclear and difficult to follow. Unclear writing comes from unclear thinking. A true expert will be able to explain complicated ideas in ways that are clear and easy to understand.” – Curtis Faith “Way of the Turtle”.”
Powiedz to niektorym/wiekszosci polski akademików publikujących swoje prace. Czestokroc wolalem po angielsku cos poczytac niz brnac w bzdurne teksty akademików.
@less
„Bo jak nam wychodzi i kapitał rośnie to się automatycznie zwiększa stawka a jak nam nie wychodzi i spada kapitał to się nam zmniejszają stawki. A antymartyngał nie należy wcale do optymalnych strategii.”
I kolko sie znow zamyka, bo w ten sposob szybko mozna przekroczyc owe 3% ryzykowanego kapitalu 🙂
Licze na wiecej topikow wokol MM 🙂
Mialem na mysli, ze jesli otwieranie kolejnych pozycji nie bierze pod uwage ile stracilismy w poprzednich, prowadzi do przekroczenia zalozonego ryzyka na jednej transakcji. (przydalaby sie mozliwosc edycji swoich komentarzy 🙂 )
JL
„w ten sposob szybko mozna przekroczyc owe 3% ryzykowanego kapitalu”
no właśnie w ten sposób się nie przekracza owych 3%
Przemyśl to raz jeszcze.
@pit65
Rozumiem to tak, ze jesli mam kapital startowy 100k, otwieram pozycje i trace 3%, a nastepnie otwieram dokladnie taka sama pozycje (w sensie wielkosci), to naraza mnie ona juz na wieksza strate niz 3%, poniewaz wartosc porfela wynosi juz nie 100k, ale 97k (a ja otwieram pozycje jak przy 100k).
JL
Lesserwiser miał na mysli obniżanie po stracie i podwyższanie przy zyskach.
Dlatego między innymi nie jest optymalnie , ale utrzymuje w miarę stałą stratę w jednym ruchu /te 3%/ za każdym wejściem.
W sposób jaki ty rozumiesz stała stawka przy stracie to tak naprawdę powiększanie pozycji na spadkach.
W pewnych przypadkach tak można , ale musi to wynikać z bardzo stabilnego //w sensie DD// systemu i zawsze pamietać do czego to prowadzi bez kontroli.
@pit65
Stabilny system w sensie DD to tez umowna kwestia i mocno zalezna od psychiki tradera. Sztuka dobrego MM jest trudniejsza wiec tym bardziej, ze trzeba znalezc kompromis pomiedzy optymalnoscia w sensie matematycznym jak i osobowoscia tradera.
„tu Lucek czerpie z najlepszych wzorów: Wałodia Lenin, herr Joseph Goebbels…”
Uważam ten wpis za najbardziej merytoryczny w tym wątku!
Możesz powiedzieć „vinc” mamusi, że pan Lucek twierdzi iż jesteś bardzo zdolnym chłopcem i daleko zajdziesz życiu!
Czyżby pan Lucek chciałby żebyśmy uwierzyli na słowo,że już za młodu vinc to jest niezły szprync? 🙂
Oj, Panie lesserwiser, jakie na słowo?
Czy ja panu coś bym chciał przekazywać bez pokrycia?
Pan rozumi, że u nas słowo jest ważne, ale pokrycie tyż?
Masz Pan tutaj pokrycie, ale czytaj Pan uważnie od poczatku do końca:
http://stare.futures.pl/?did=139&wdid=12970
Panie Lucek, no i dobrze, odkryło się, iż vinc był wtedy tak głodny wiedzy, że chciał się uczyć nawet od bobaska. 🙂
Ale od tamtej pory ułynęło trochę czasu, więc może nie bez kozery podpytywał o atry i inne śmery bajery.
A kto pyta nie błądzi!
Daj spokój Lucek, chcą chłopcy wierzyć w swoją przewagę z matematycznymi uśrednionymi modelami nad czystym ruchem cen to niech sobie wierzą. Nie ma potrzeby ciągłego udowadniania kto ma większego.
Rynek systemów mechanicznych jest od lat w odwrocie. Wystarczy sobie zajrzeć co jakiś czas na Collective2 czy na resztki tego co zostało z Futures Truth. Masakra. To trochę przypomina rynek antybiotków, gdzie kiedyś super działała penicylina a teraz już czasem superantybiotyk nie zadziała. Jestem jeszcze w stanie uwierzyć, że jakieś proste podążanie na trendach na stu rynkach towarowych na raz może przetrwać próbę czasu ale nie bardzo w systemy na rynek indeksowy. Mimo Walk Forward Analysis, wyrafinowanego Position Sizing czy Risk scale in- scale out.
Dla odmiany : jest już w sieci parę stron sieci, trochę nawet w pl, gdzie proste strategie oparte na cenach, gdzie autor z góry mówi co należy zrobić, działają. Lepiej niż jakiś eurobankier, nad którym się wszyscy od lat zachwycają.
@sds
Paradoksalnie, jesli to prawda, to dosc pozytywna informacja dla ludzi ze swiata mechanicznych transkacji 🙂
„(…) This consequence that certain market participants stop trading with certain styles because they believe that those styles no longer work has an interesting side effect for trend followers. Every few years trendfollowing traders experience a period of losses, and inevitably some expert will announce the end of trend following. This usually coincides with a large withdrawal of money from trend-following funds. As more and more money flees from trend-following strategies, those strategies start to become profitable again, often spectacularly so. At least three or four times since the Turtle program began someone has made the claim that trend following has ceased to work. I always laugh at this, knowing that profitable markets are most likely quite near.” /* Curtis Faith */
SDS – mowisz zapewne o „naiwnych” systemach mechanicznych jakich mnostwo w sieci.
Zgadnij dlaczego jest ich mnóstwo…
@JL
Zgadza się, zresztą Christian Smart postawił swego czasu niezłą hipotezę o cykliczności tego zjawiska w „System death: When good systems go bad”. Co ciekawe, jeden z najbardziej cenionych uczestników forum Curtisa Faitha, Leonardo, autor opisywanych na tym blogów systemów forexowych, napisał w komentarzu na społeczności mniej więcej tak :
„Dużym problemem jest fakt jak wielu traderów myśli, że kupienie podobnego oprogramowania, jak inni i robienie fajnych symulacji na danych pozwoli im uzyskać przewagę. Ja jednak wierzę, w oparciu o moje doświadczenie, że to co naprawdę jest kluczowe to znalezienie przewagi tam, gdzie inni nie chcą szukać.”
Może w kolejnych „Mitach spekulacji” pojawi się temat o systemach, backtestach itd?
Pingback: Blogi bossa.pl » Wielkość pozycji a statystyczna przewaga systemu
@less
W realu aby wyliczyc poprawne f nie wystarczy zalatwic tylko kwestii roznych wielkosci wygranych/przegranych dla poszczegolnych transakcji.
W tradingu kazdy taki HPR (Holding Period Return) moze miec nie tylko rozna wartosc ale i rozne prawdopodobienstwo! A to wymaga jeszcze wiekszego zachodu w poszukiwaniu blizszego prawdy optimal f…
@KatHay
A moze by tak przyblizyc niuanse poszukiwan optymalnego f w kilku wpisach? 😉
@Kathay
Czy jest szansa na wiecej topikow na niniejszym Blogu o MM, m.in. optimal f? 🙂
Zasadniczy problem jest taki, że ja nie wymyślę nic nowego w tym temacie, doskonale zresztą opisanym przez Vince’a, Jonesa czy VanTharpa i Schwagera 🙂
No tak, zgadza sie 🙂 Ale przeciez wiele tematow poruszanych tutaj jest w podobnym polozeniu. Ot, chociazby WFA. Poruszenie takiego tematu to zawsze mozliwosc poznania pogladu na sprawe innych osob, mozliwosc dyskusji :-)Poza tym bardzo ciekawy moze byc komentarz ludzi doswiadczonych jak Ty Tomku 🙂
Przy optimal f chociazby, jak widac powyzej, jest juz taki „sporny” punkt…